Ratkaise x^4-12x^2-64

$${ x }^{ 4 } -12 { x }^{ 2 } -64$$

Jaa tekijöihin

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{4}-12x^{2}-64=0$$

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -64 ja q jakaa johtavan kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=4$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla x-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa x^{4}-12x^{2}-64 luvulla x-4, jolloin ratkaisuksi tulee x^{3}+4x^{2}+4x+16. Saa tulos ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{3}+4x^{2}+4x+16=0$$

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin 16 ja q jakaa johtavan kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-4$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla x-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa x^{3}+4x^{2}+4x+16 luvulla x+4, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+4. Saa tulos ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan 4 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polynomia x^{2}+4 ei voi jakaa tekijöihin, koska sillä ei ole rationaalijuuria.

$$x^{2}+4$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke uudelleen käyttämällä saatuja juuria.

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Laske

$$x^{4}-12x^{2}-64$$