Ratkaise x^3+5x^2+4x+20=0

$${ x }^{ 3 } +5 { x }^{ 2 } +4x+20 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 20 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-5$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{3}+5x^{2}+4x+20 luvulla x+5, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+4. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan 4 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$x\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=-5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2i$$

$$x=-2i$$

$$x=-5$$