Ratkaise x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$x^{2}-x=1$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Lisää 1 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$