Ratkaise x^2-x*2x+1-x^2=2x^2+4x-x-1

$${ x }^{ 2 } -x \times 2x+1- { x }^{ 2 } =2 { x }^{ 2 } +4x-x-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\approx 0,42539053$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8}\approx -1,17539053$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$x^{2}-x^{2}\times 2+1-x^{2}=2x^{2}+4x-x-1$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -x^{2}\times 2.

$$-x^{2}+1-x^{2}=2x^{2}+4x-x-1$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$-2x^{2}+1=2x^{2}+4x-x-1$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$-2x^{2}+1=2x^{2}+3x-1$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+1-2x^{2}=3x-1$$

Selvitä -4x^{2} yhdistämällä -2x^{2} ja -2x^{2}.

$$-4x^{2}+1=3x-1$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-4x^{2}+1-3x=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$-4x^{2}+1-3x+1=0$$

Selvitä 2 laskemalla yhteen 1 ja 1.

$$-4x^{2}+2-3x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}-3x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla -3 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+32}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 9 lukuun 32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{3±\sqrt{41}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{41}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{-8}$$

Jaa 3+\sqrt{41} luvulla -8.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{41}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{-8}$$

Jaa 3-\sqrt{41} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8} x=\frac{\sqrt{41}-3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$x^{2}-x^{2}\times 2+1-x^{2}=2x^{2}+4x-x-1$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -x^{2}\times 2.

$$-x^{2}+1-x^{2}=2x^{2}+4x-x-1$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$-2x^{2}+1=2x^{2}+4x-x-1$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$-2x^{2}+1=2x^{2}+3x-1$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+1-2x^{2}=3x-1$$

Selvitä -4x^{2} yhdistämällä -2x^{2} ja -2x^{2}.

$$-4x^{2}+1=3x-1$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-4x^{2}+1-3x=-1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$-4x^{2}-3x=-1-1$$

Vähennä 1 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -2.

$$-4x^{2}-3x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{2}{-4}$$

Jaa -3 luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{2}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{-4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Jaa \frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{8}. Lisää sitten \frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Vähennä \frac{3}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8}$$