Ratkaise x^2-9x-48=0

$${ x }^{ 2 } -9x-48=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{273} + 9}{2} \approx 12,761355821$$

$$x=\frac{9-\sqrt{273}}{2}\approx -3,761355821$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-9x-48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -9 ja c luvulla -48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-48\right)}}{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-48\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -48.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+192}}{2}$$

Lisää 81 lukuun 192.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{273}}{2}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{273}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{273}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun \sqrt{273}.

$$x=\frac{\sqrt{273}+9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{273}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{273} luvusta 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{273}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{273}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{273}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-48=0$$

Lisää 48 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-9x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Kun luku -48 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-48\right)$$

Vähennä -48 luvusta 0.

$$x^{2}-9x=48$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=48+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=48+\frac{81}{4}$$

Lisää 48 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{273}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{273}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{273}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{273}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{273}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{273}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{273}}{2}$$