Ratkaise x^2-8x-1029=0=

$${ x }^{ 2 } -8x-1029=0=$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{1045}+4\approx 36,32645975$$

$$x=4-\sqrt{1045}\approx -28,32645975$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-8x-1029=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -8 ja c luvulla -1029 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-1029\right)}}{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-1029\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1029.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+4116}}{2}$$

Lisää 64 lukuun 4116.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4180}}{2}$$

Ota luvun 4180 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{1045}}{2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{1045}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{1045}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2\sqrt{1045}.

$$x=\frac{2\sqrt{1045}+8}{2}$$

Jaa 8+2\sqrt{1045} luvulla 2.

$$x=\sqrt{1045}+4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{1045}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{1045} luvusta 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{1045}}{2}$$

Jaa 8-2\sqrt{1045} luvulla 2.

$$x=4-\sqrt{1045}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{1045}+4 x=4-\sqrt{1045}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x-1029=0$$

Lisää 1029 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-8x-1029-\left(-1029\right)=-\left(-1029\right)$$

Kun luku -1029 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-8x=-\left(-1029\right)$$

Vähennä -1029 luvusta 0.

$$x^{2}-8x=1029$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=1029+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=1029+16$$

Lisää 1029 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=1045$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1045$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1045}$$

Sievennä.

$$x-4=\sqrt{1045} x-4=-\sqrt{1045}$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{1045}+4 x=4-\sqrt{1045}$$