Ratkaise x^2-6x-27=0

$${ x }^{ 2 } -6x-27 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x=9$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-6x-27 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-6 ab=-27$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -27.

$$1,-27 3,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -6.

$$a=-9 b=3$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-9=0 ja x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-27. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -27.

$$1,-27 3,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -6.

$$a=-9 b=3$$

Kirjoita \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right) uudelleen muodossa x^{2}-6x-27.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-9 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-9=0 ja x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -6 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-27\right)}}{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-27\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -27.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+108}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±12}{2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±12}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±12}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 12.

$$x=\frac{18}{2}$$

Jaa 18 luvulla 2.

$$x=9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±12}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=9 x=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Lisää 27 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-6x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Kun luku -27 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-27\right)$$

Vähennä -27 luvusta 0.

$$x^{2}-6x=27$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=27+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=27+9$$

Lisää 27 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=36$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=36$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Sievennä.

$$x-3=6 x-3=-6$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=9 x=-3$$