Ratkaise x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -6 ja c luvulla 11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Kerro -4 ja 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Lisää 36 lukuun -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Ota luvun -8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Jaa 6+2i\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{2} luvusta 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Jaa 6-2i\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Vähennä 11 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Kun luku 11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Lisää -11 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sievennä.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$