Ratkaise x^2-5x+8=0

$${ x }^{ 2 } -5x+8=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2}\approx 2,5+1,322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}\approx 2,5-1,322875656i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-5x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -5 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 8}}{2}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2}$$

Lisää 25 lukuun -32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2}$$

Ota luvun -7 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{7}.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{7} luvusta 5.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-5x+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-5x=-8$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-8+\frac{25}{4}$$

Lisää -8 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{7}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}$$