Ratkaise x^2-4x-5=2

$${ x }^{ 2 } -4x-5 = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{11}+2\approx 5,31662479$$

$$x=2-\sqrt{11}\approx -1,31662479$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-4x-5-2=2-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x-5-2=0$$

Vähennä 2 luvusta -5.

$$x^{2}-4x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+28}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 28.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{44}}{2}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{11}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+4}{2}$$

Jaa 4+2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=\sqrt{11}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{11}}{2}$$

Jaa 4-2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=2-\sqrt{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=2-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x=2-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 2.

$$x^{2}-4x=7$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=7+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=7+4$$

Lisää 7 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=11$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{11} x-2=-\sqrt{11}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$