Ratkaise x^2-4x-16=0

$${ x }^{ 2 } -4x-16 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla -16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Ota luvun 80 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+4}{2}$$

Jaa 4+4\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{5} luvusta 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{5}}{2}$$

Jaa 4-4\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Lisää 16 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Kun luku -16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Vähennä -16 luvusta 0.

$$x^{2}-4x=16$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Lisää 16 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Sievennä.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$