Ratkaise x^2-4x+16=0

$${ x }^{ 2 } -4x+16=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-4x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 16}}{2}$$

Kerro -4 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-64}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-48}}{2}$$

Ota luvun -48 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{3}i}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 4i\sqrt{3}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{3}i}{2}$$

Jaa 4+4i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=2+2\sqrt{3}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{3} luvusta 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}i+4}{2}$$

Jaa 4-4i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=-2\sqrt{3}i+2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+16=0$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-4x+16-16=-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x=-16$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-16+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-16+4$$

Lisää -16 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-12$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-12$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-12}$$

Sievennä.

$$x-2=2\sqrt{3}i x-2=-2\sqrt{3}i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$