Ratkaise x^2-4x+1=0

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Jaa 4+2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 4-2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Lisää -1 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$