Ratkaise x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=8$$

$$x=13$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-21x+104 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-21 ab=104$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -21.

$$a=-13 b=-8$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-13=0 ja x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+104. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -21.

$$a=-13 b=-8$$

Kirjoita \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right) uudelleen muodossa x^{2}-21x+104.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja -8 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-13 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-13=0 ja x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -21 ja c luvulla 104 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Korota -21 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Kerro -4 ja 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Lisää 441 lukuun -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Luvun -21 vastaluku on 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{21±5}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 21 lukuun 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Jaa 26 luvulla 2.

$$x=13$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{21±5}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Jaa 16 luvulla 2.

$$x=8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=13 x=8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Vähennä 104 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Kun luku 104 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Jaa -21 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{21}{2}. Lisää sitten -\frac{21}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{21}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Lisää -104 lukuun \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa x^{2}-21x+\frac{441}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Lisää \frac{21}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=13 x=8$$