Ratkaise x^2-14x+19=4

$${ x }^{ 2 } -14x+19=4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{34}+7\approx 12,830951895$$

$$x=7-\sqrt{34}\approx 1,169048105$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-14x+19=4$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-14x+19-4=4-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-14x+19-4=0$$

Vähennä 4 luvusta 19.

$$x^{2}-14x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -14 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15}}{2}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60}}{2}$$

Lisää 196 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{136}}{2}$$

Ota luvun 136 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{34}}{2}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+14}{2}$$

Jaa 14+2\sqrt{34} luvulla 2.

$$x=\sqrt{34}+7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{34} luvusta 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{34}}{2}$$

Jaa 14-2\sqrt{34} luvulla 2.

$$x=7-\sqrt{34}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+19=4$$

Vähennä 19 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-14x+19-19=4-19$$

Kun luku 19 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-14x=4-19$$

Vähennä 19 luvusta 4.

$$x^{2}-14x=-15$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-15+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x^{2}-14x+49=-15+49$$

Lisää -15 lukuun 49.

$$x^{2}-14x+49=34$$

Jaa x^{2}-14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=34$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{34}$$

Sievennä.

$$x-7=\sqrt{34} x-7=-\sqrt{34}$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$