Ratkaise x^2-12x-5=-22

$${ x }^{ 2 } -12x-5=-22$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{19}+6\approx 10,358898944$$

$$x=6-\sqrt{19}\approx 1,641101056$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Lisää 22 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Kun luku -22 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=0$$

Vähennä -22 luvusta -5.

$$x^{2}-12x+17=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -12 ja c luvulla 17 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 17}}{2}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 17}}{2}$$

Kerro -4 ja 17.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-68}}{2}$$

Lisää 144 lukuun -68.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{76}}{2}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{19}}{2}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+12}{2}$$

Jaa 12+2\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=\sqrt{19}+6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{19}}{2}$$

Jaa 12-2\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=6-\sqrt{19}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-12x-5-\left(-5\right)=-22-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-12x=-22-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta -22.

$$x^{2}-12x=-17$$

Jaa -12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -6. Lisää sitten -6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-17+\left(-6\right)^{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x^{2}-12x+36=-17+36$$

Lisää -17 lukuun 36.

$$x^{2}-12x+36=19$$

Jaa x^{2}-12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=19$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Sievennä.

$$x-6=\sqrt{19} x-6=-\sqrt{19}$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$