Ratkaise x^2-115x+5046=0

$${ x }^{ 2 } -115x+5046=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}\approx 57,5+41,710310476i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}\approx 57,5-41,710310476i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -115 ja c luvulla 5046 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 5046}}{2}$$

Korota -115 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 5046}}{2}$$

Kerro -4 ja 5046.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-20184}}{2}$$

Lisää 13225 lukuun -20184.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-6959}}{2}$$

Ota luvun -6959 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{6959}i}{2}$$

Luvun -115 vastaluku on 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 115 lukuun i\sqrt{6959}.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{6959} luvusta 115.

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

Vähennä 5046 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-115x+5046-5046=-5046$$

Kun luku 5046 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-115x=-5046$$

Jaa -115 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{115}{2}. Lisää sitten -\frac{115}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-5046+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{115}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-5046+\frac{13225}{4}$$

Lisää -5046 lukuun \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{6959}{4}$$

Jaa x^{2}-115x+\frac{13225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{6959}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6959}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{6959}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{6959}i}{2}$$

Lisää \frac{115}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$