Ratkaise x^2-115x+4254=0

$${ x }^{ 2 } -115x+4254=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2}\approx 57,5+30,785548558i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}\approx 57,5-30,785548558i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-115x+4254=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -115 ja c luvulla 4254 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 4254}}{2}$$

Korota -115 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 4254}}{2}$$

Kerro -4 ja 4254.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-17016}}{2}$$

Lisää 13225 lukuun -17016.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-3791}}{2}$$

Ota luvun -3791 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{3791}i}{2}$$

Luvun -115 vastaluku on 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 115 lukuun i\sqrt{3791}.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{3791} luvusta 115.

$$x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x+4254=0$$

Vähennä 4254 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-115x+4254-4254=-4254$$

Kun luku 4254 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-115x=-4254$$

Jaa -115 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{115}{2}. Lisää sitten -\frac{115}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-4254+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{115}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-4254+\frac{13225}{4}$$

Lisää -4254 lukuun \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{3791}{4}$$

Jaa x^{2}-115x+\frac{13225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{3791}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3791}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{3791}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{3791}i}{2}$$

Lisää \frac{115}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$