Ratkaise x^2=-x-2

$${ x }^{ 2 } =-x-2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0,5+1,322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0,5-1,322875656i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää x molemmille puolille.

$$x^{2}+x=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$x^{2}+x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2}}{2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8}}{2}$$

Lisää 1 lukuun -8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-7}}{2}$$

Ota luvun -7 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{7} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää x molemmille puolille.

$$x^{2}+x=-2$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$