Ratkaise x^2+x+6=0

$${ x }^{ 2 } +x+6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2}\approx -0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}\approx -0,5-2,397915762i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6}}{2}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2}$$

Lisää 1 lukuun -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+x=-6$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Lisää -6 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}$$