Ratkaise x^2+7x+12=0

$${ x }^{ 2 } +7x+12=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=-3$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}+7x+12 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=7 ab=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 7.

$$a=3 b=4$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+3=0 ja x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+12. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=7 ab=1\times 12=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 7.

$$a=3 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right) uudelleen muodossa x^{2}+7x+12.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 4 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+3=0 ja x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 7 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12}}{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12}}{2}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2}$$

Lisää 49 lukuun -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±1}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 1.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x=-3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±1}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -7.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x+12-12=-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+7x=-12$$

Jaa 7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{2}. Lisää sitten \frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-12+\frac{49}{4}$$

Lisää -12 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}+7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}$$

Vähennä \frac{7}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3 x=-4$$