Ratkaise x^2+6x+36=0

$${ x }^{ 2 } +6x+36=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-3+3\sqrt{3}i\approx -3+5,196152423i$$

$$x=-3\sqrt{3}i-3\approx -3-5,196152423i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+6x+36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla 36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 36}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 36}}{2}$$

Kerro -4 ja 36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-144}}{2}$$

Lisää 36 lukuun -144.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-108}}{2}$$

Ota luvun -108 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±6\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 6i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-6+6\sqrt{3}i}{2}$$

Jaa -6+6i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=-3+3\sqrt{3}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±6\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i\sqrt{3} luvusta -6.

$$x=\frac{-6\sqrt{3}i-6}{2}$$

Jaa -6-6i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=-3\sqrt{3}i-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3+3\sqrt{3}i x=-3\sqrt{3}i-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+6x+36=0$$

Vähennä 36 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+6x+36-36=-36$$

Kun luku 36 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+6x=-36$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-36+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=-36+9$$

Lisää -36 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=-27$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-27$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-27}$$

Sievennä.

$$x+3=3\sqrt{3}i x+3=-3\sqrt{3}i$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3+3\sqrt{3}i x=-3\sqrt{3}i-3$$