Ratkaise x^2+5x-10=0

$${ x }^{ 2 } +5x-10=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{65} - 5}{2} \approx 1,531128874$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{2}\approx -6,531128874$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+5x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 5 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-10\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -10.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+40}}{2}$$

Lisää 25 lukuun 40.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{65} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{65}-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+5x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+5x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$x^{2}+5x=10$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=10+\frac{25}{4}$$

Lisää 10 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{65}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{65}-5}{2}$$