Ratkaise x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 5 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Lisää 25 lukuun -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Ota luvun -3 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{3} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Lisää -7 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$