Ratkaise x^2+5x+6=0

$${ x }^{ 2 } +5x+6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x=-2$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}+5x+6 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=5 ab=6$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 6.

$$1,6 2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+6=7 2+3=5$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 5.

$$a=2 b=3$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+2=0 ja x+3=0.

$$x=-2 x=-3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+6. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=5 ab=1\times 6=6$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 6.

$$1,6 2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+6=7 2+3=5$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 5.

$$a=2 b=3$$

Kirjoita \left(x^{2}+2x\right)+\left(3x+6\right) uudelleen muodossa x^{2}+5x+6.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(3x+6\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+2=0 ja x+3=0.

$$x=-2 x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 5 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2}$$

Lisää 25 lukuun -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±1}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 1.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x=-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±1}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -5.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2 x=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+5x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+5x=-6$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Lisää -6 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2 x=-3$$