Ratkaise x^2+54x-5=500

$${ x }^{ 2 } +54x-5=500$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{1234}-27\approx 8,128336141$$

$$x=-\left(\sqrt{1234}+27\right)\approx -62,128336141$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+54x-5=500$$

Vähennä 500 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+54x-5-500=500-500$$

Kun luku 500 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+54x-5-500=0$$

Vähennä 500 luvusta -5.

$$x^{2}+54x-505=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 54 ja c luvulla -505 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\left(-505\right)}}{2}$$

Korota 54 neliöön.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\left(-505\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -505.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916+2020}}{2}$$

Lisää 2916 lukuun 2020.

$$x=\frac{-54±\sqrt{4936}}{2}$$

Ota luvun 4936 neliöjuuri.

$$x=\frac{-54±2\sqrt{1234}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-54±2\sqrt{1234}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -54 lukuun 2\sqrt{1234}.

$$x=\frac{2\sqrt{1234}-54}{2}$$

Jaa -54+2\sqrt{1234} luvulla 2.

$$x=\sqrt{1234}-27$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-54±2\sqrt{1234}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{1234} luvusta -54.

$$x=\frac{-2\sqrt{1234}-54}{2}$$

Jaa -54-2\sqrt{1234} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{1234}-27$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{1234}-27 x=-\sqrt{1234}-27$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+54x-5=500$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+54x-5-\left(-5\right)=500-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+54x=500-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 500.

$$x^{2}+54x=505$$

Jaa 54 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 27. Lisää sitten 27:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+54x+27^{2}=505+27^{2}$$

Korota 27 neliöön.

$$x^{2}+54x+729=505+729$$

Lisää 505 lukuun 729.

$$x^{2}+54x+729=1234$$

Jaa x^{2}+54x+729 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+27\right)^{2}=1234$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+27\right)^{2}}=\sqrt{1234}$$

Sievennä.

$$x+27=\sqrt{1234} x+27=-\sqrt{1234}$$

Vähennä 27 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{1234}-27 x=-\sqrt{1234}-27$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{1234}-27\approx 8,128336141$$

$$x=-\sqrt{1234}-27\approx -62,128336141$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+54x-5=500$$

Vähennä 500 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+54x-5-500=500-500$$

Kun luku 500 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+54x-5-500=0$$

Vähennä 500 luvusta -5.

$$x^{2}+54x-505=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 54 ja c luvulla -505 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\left(-505\right)}}{2}$$

Korota 54 neliöön.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\left(-505\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -505.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916+2020}}{2}$$

Lisää 2916 lukuun 2020.

$$x=\frac{-54±\sqrt{4936}}{2}$$

Ota luvun 4936 neliöjuuri.

$$x=\frac{-54±2\sqrt{1234}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-54±2\sqrt{1234}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -54 lukuun 2\sqrt{1234}.

$$x=\frac{2\sqrt{1234}-54}{2}$$

Jaa -54+2\sqrt{1234} luvulla 2.

$$x=\sqrt{1234}-27$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-54±2\sqrt{1234}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{1234} luvusta -54.

$$x=\frac{-2\sqrt{1234}-54}{2}$$

Jaa -54-2\sqrt{1234} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{1234}-27$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{1234}-27 x=-\sqrt{1234}-27$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+54x-5=500$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+54x-5-\left(-5\right)=500-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+54x=500-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 500.

$$x^{2}+54x=505$$

Jaa 54 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 27. Lisää sitten 27:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+54x+27^{2}=505+27^{2}$$

Korota 27 neliöön.

$$x^{2}+54x+729=505+729$$

Lisää 505 lukuun 729.

$$x^{2}+54x+729=1234$$

Jaa x^{2}+54x+729 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+27\right)^{2}=1234$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+27\right)^{2}}=\sqrt{1234}$$

Sievennä.

$$x+27=\sqrt{1234} x+27=-\sqrt{1234}$$

Vähennä 27 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{1234}-27 x=-\sqrt{1234}-27$$