Ratkaise x^2+4x+6=0

$${ x }^{ 2 } +4x+6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-2+\sqrt{2}i\approx -2+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-2\approx -2-1,414213562i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 6}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 6}}{2}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-24}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -24.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-8}}{2}$$

Ota luvun -8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{2}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{2}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{2}i}{2}$$

Jaa -4+2i\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=-2+\sqrt{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{2}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{2} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-4}{2}$$

Jaa -4-2i\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{2}i-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+4x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x=-6$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-6+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=-6+4$$

Lisää -6 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=-2$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{2}i x+2=-\sqrt{2}i$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-2$$