Ratkaise x^2+3x-65=10

$${ x }^{ 2 } +3x-65=10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{309} - 3}{2} \approx 7,289197916$$

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}\approx -10,289197916$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+3x-65=10$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+3x-65-10=10-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x-65-10=0$$

Vähennä 10 luvusta -65.

$$x^{2}+3x-75=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla -75 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-75\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -75.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+300}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 300.

$$x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{309}.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{309} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-65=10$$

Lisää 65 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+3x-65-\left(-65\right)=10-\left(-65\right)$$

Kun luku -65 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x=10-\left(-65\right)$$

Vähennä -65 luvusta 10.

$$x^{2}+3x=75$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=75+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=75+\frac{9}{4}$$

Lisää 75 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{309}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{309}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{309}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{309}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{309}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$