Ratkaise x^2+3x-1>0

$${ x }^{ 2 } +3x-1 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{2},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$x^{2}+3x-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 3 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-3±\sqrt{13}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{13}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{2}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{\sqrt{13}-3}{2} ja x-\frac{-\sqrt{13}-3}{2} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{13}-3}{2} ja x-\frac{-\sqrt{13}-3}{2} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{2}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{2}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<\frac{-\sqrt{13}-3}{2}.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{13}-3}{2} ja x-\frac{-\sqrt{13}-3}{2} ovat molemmat positiivisia.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{2}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{2}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{\sqrt{13}-3}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{2}$$