Ratkaise x^2+3x+6=5

$${ x }^{ 2 } +3x+6=5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\approx -0,381966011$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}\approx -2,618033989$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+3x+6=5$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+3x+6-5=5-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x+6-5=0$$

Vähennä 5 luvusta 6.

$$x^{2}+3x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2}$$

Lisää 9 lukuun -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+6=5$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+3x+6-6=5-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x=5-6$$

Vähennä 6 luvusta 5.

$$x^{2}+3x=-1$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}$$