Ratkaise x^2+2x-1=0

$${ x }^{ 2 } +2x-1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$x=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2,414213562$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$x^{2}+2x=1$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Lisää 1 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$x=-\sqrt{2}-1\approx -2,414213562$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$x^{2}+2x=1$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Lisää 1 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$