Ratkaise x^2+2x+3=12

$${ x }^{ 2 } +2x+3=12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{10}-1\approx 2,16227766$$

$$x=-\left(\sqrt{10}+1\right)\approx -4,16227766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+3=12$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-12=12-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x+3-12=0$$

Vähennä 12 luvusta 3.

$$x^{2}+2x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{10} luvulla 2.

$$x=\sqrt{10}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{10} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{10}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{10}-1 x=-\sqrt{10}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+3=12$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-3=12-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=12-3$$

Vähennä 3 luvusta 12.

$$x^{2}+2x=9$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=9+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=9+1$$

Lisää 9 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=10$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=10$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{10} x+1=-\sqrt{10}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{10}-1 x=-\sqrt{10}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{10}-1\approx 2,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}-1\approx -4,16227766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+3=12$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-12=12-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x+3-12=0$$

Vähennä 12 luvusta 3.

$$x^{2}+2x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{10} luvulla 2.

$$x=\sqrt{10}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{10} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{10}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{10}-1 x=-\sqrt{10}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+3=12$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-3=12-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=12-3$$

Vähennä 3 luvusta 12.

$$x^{2}+2x=9$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=9+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=9+1$$

Lisää 9 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=10$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=10$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{10} x+1=-\sqrt{10}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{10}-1 x=-\sqrt{10}-1$$