Ratkaise x^2+24x-23=0

$${ x }^{ 2 } +24x-23=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{167}-12\approx 0,922847983$$

$$x=-\left(\sqrt{167}+12\right)\approx -24,922847983$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+24x-23=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 24 ja c luvulla -23 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Korota 24 neliöön.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-23\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -23.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+92}}{2}$$

Lisää 576 lukuun 92.

$$x=\frac{-24±\sqrt{668}}{2}$$

Ota luvun 668 neliöjuuri.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{167}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±2\sqrt{167}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -24 lukuun 2\sqrt{167}.

$$x=\frac{2\sqrt{167}-24}{2}$$

Jaa -24+2\sqrt{167} luvulla 2.

$$x=\sqrt{167}-12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±2\sqrt{167}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{167} luvusta -24.

$$x=\frac{-2\sqrt{167}-24}{2}$$

Jaa -24-2\sqrt{167} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{167}-12$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{167}-12 x=-\sqrt{167}-12$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+24x-23=0$$

Lisää 23 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+24x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Kun luku -23 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+24x=-\left(-23\right)$$

Vähennä -23 luvusta 0.

$$x^{2}+24x=23$$

Jaa 24 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 12. Lisää sitten 12:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+24x+12^{2}=23+12^{2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x^{2}+24x+144=23+144$$

Lisää 23 lukuun 144.

$$x^{2}+24x+144=167$$

Jaa x^{2}+24x+144 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+12\right)^{2}=167$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+12\right)^{2}}=\sqrt{167}$$

Sievennä.

$$x+12=\sqrt{167} x+12=-\sqrt{167}$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{167}-12 x=-\sqrt{167}-12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{167}-12\approx 0,922847983$$

$$x=-\sqrt{167}-12\approx -24,922847983$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+24x-23=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 24 ja c luvulla -23 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Korota 24 neliöön.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-23\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -23.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+92}}{2}$$

Lisää 576 lukuun 92.

$$x=\frac{-24±\sqrt{668}}{2}$$

Ota luvun 668 neliöjuuri.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{167}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±2\sqrt{167}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -24 lukuun 2\sqrt{167}.

$$x=\frac{2\sqrt{167}-24}{2}$$

Jaa -24+2\sqrt{167} luvulla 2.

$$x=\sqrt{167}-12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±2\sqrt{167}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{167} luvusta -24.

$$x=\frac{-2\sqrt{167}-24}{2}$$

Jaa -24-2\sqrt{167} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{167}-12$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{167}-12 x=-\sqrt{167}-12$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+24x-23=0$$

Lisää 23 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+24x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Kun luku -23 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+24x=-\left(-23\right)$$

Vähennä -23 luvusta 0.

$$x^{2}+24x=23$$

Jaa 24 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 12. Lisää sitten 12:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+24x+12^{2}=23+12^{2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x^{2}+24x+144=23+144$$

Lisää 23 lukuun 144.

$$x^{2}+24x+144=167$$

Jaa x^{2}+24x+144 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+12\right)^{2}=167$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+12\right)^{2}}=\sqrt{167}$$

Sievennä.

$$x+12=\sqrt{167} x+12=-\sqrt{167}$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{167}-12 x=-\sqrt{167}-12$$