Ratkaise x^2+191x+2709=0

$${ x }^{ 2 } +191x+2709=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{25645}-191}{2}\approx -15,429718372$$

$$x=\frac{-\sqrt{25645}-191}{2}\approx -175,570281628$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+191x+2709=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 191 ja c luvulla 2709 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-191±\sqrt{191^{2}-4\times 2709}}{2}$$

Korota 191 neliöön.

$$x=\frac{-191±\sqrt{36481-4\times 2709}}{2}$$

Kerro -4 ja 2709.

$$x=\frac{-191±\sqrt{36481-10836}}{2}$$

Lisää 36481 lukuun -10836.

$$x=\frac{-191±\sqrt{25645}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-191±\sqrt{25645}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -191 lukuun \sqrt{25645}.

$$x=\frac{\sqrt{25645}-191}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-191±\sqrt{25645}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{25645} luvusta -191.

$$x=\frac{-\sqrt{25645}-191}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{25645}-191}{2} x=\frac{-\sqrt{25645}-191}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+191x+2709=0$$

Vähennä 2709 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+191x+2709-2709=-2709$$

Kun luku 2709 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+191x=-2709$$

Jaa 191 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{191}{2}. Lisää sitten \frac{191}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+191x+\left(\frac{191}{2}\right)^{2}=-2709+\left(\frac{191}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{191}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+191x+\frac{36481}{4}=-2709+\frac{36481}{4}$$

Lisää -2709 lukuun \frac{36481}{4}.

$$x^{2}+191x+\frac{36481}{4}=\frac{25645}{4}$$

Jaa x^{2}+191x+\frac{36481}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{191}{2}\right)^{2}=\frac{25645}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{191}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25645}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{191}{2}=\frac{\sqrt{25645}}{2} x+\frac{191}{2}=-\frac{\sqrt{25645}}{2}$$

Vähennä \frac{191}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{25645}-191}{2} x=\frac{-\sqrt{25645}-191}{2}$$