Ratkaise x^2+12x+64=0

$${ x }^{ 2 } +12x+64=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-6+2\sqrt{7}i\approx -6+5,291502622i$$

$$x=-2\sqrt{7}i-6\approx -6-5,291502622i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+12x+64=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 12 ja c luvulla 64 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 64}}{2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 64}}{2}$$

Kerro -4 ja 64.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-256}}{2}$$

Lisää 144 lukuun -256.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-112}}{2}$$

Ota luvun -112 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{7}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 4i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{7}i}{2}$$

Jaa -12+4i\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=-6+2\sqrt{7}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{7}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{7} luvusta -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{7}i-12}{2}$$

Jaa -12-4i\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=-2\sqrt{7}i-6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-6+2\sqrt{7}i x=-2\sqrt{7}i-6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x+64=0$$

Vähennä 64 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+12x+64-64=-64$$

Kun luku 64 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+12x=-64$$

Jaa 12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 6. Lisää sitten 6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-64+6^{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x^{2}+12x+36=-64+36$$

Lisää -64 lukuun 36.

$$x^{2}+12x+36=-28$$

Jaa x^{2}+12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=-28$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{-28}$$

Sievennä.

$$x+6=2\sqrt{7}i x+6=-2\sqrt{7}i$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-6+2\sqrt{7}i x=-2\sqrt{7}i-6$$