Ratkaise t^2+11+t-42=0

$${ t }^{ 2 } +11+t-42 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{5 \sqrt{5} - 1}{2} \approx 5,090169944$$

$$t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}\approx -6,090169944$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 42 luvusta 11 saadaksesi tuloksen -31.

$$t^{2}-31+t=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t^{2}+t-31=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla -31 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-31\right)}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-31\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -31.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1+124}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 124.

$$t=\frac{-1±\sqrt{125}}{2}$$

Ota luvun 125 neliöjuuri.

$$t=\frac{-1±5\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-1±5\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 5\sqrt{5}.

$$t=\frac{5\sqrt{5}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-1±5\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5\sqrt{5} luvusta -1.

$$t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{5\sqrt{5}-1}{2} t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 42 luvusta 11 saadaksesi tuloksen -31.

$$t^{2}-31+t=0$$

Lisää 31 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$t^{2}+t=31$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+t+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=31+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=31+\frac{1}{4}$$

Lisää 31 lukuun \frac{1}{4}.

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=\frac{125}{4}$$

Jaa t^{2}+t+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{125}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{125}{4}}$$

Sievennä.

$$t+\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{2} t+\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{5}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\frac{5\sqrt{5}-1}{2} t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}$$