Ratkaise m^2-13m+72=0

$${ m }^{ 2 } -13m+72=0$$

Ratkaise muuttujan m suhteen

$$m=\frac{13+\sqrt{119}i}{2}\approx 6,5+5,454356057i$$

$$m=\frac{-\sqrt{119}i+13}{2}\approx 6,5-5,454356057i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$m^{2}-13m+72=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -13 ja c luvulla 72 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 72}}{2}$$

Korota -13 neliöön.

$$m=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 72}}{2}$$

Kerro -4 ja 72.

$$m=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-288}}{2}$$

Lisää 169 lukuun -288.

$$m=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-119}}{2}$$

Ota luvun -119 neliöjuuri.

$$m=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{119}i}{2}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$m=\frac{13±\sqrt{119}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{13±\sqrt{119}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun i\sqrt{119}.

$$m=\frac{13+\sqrt{119}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{13±\sqrt{119}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{119} luvusta 13.

$$m=\frac{-\sqrt{119}i+13}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$m=\frac{13+\sqrt{119}i}{2} m=\frac{-\sqrt{119}i+13}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$m^{2}-13m+72=0$$

Vähennä 72 yhtälön molemmilta puolilta.

$$m^{2}-13m+72-72=-72$$

Kun luku 72 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$m^{2}-13m=-72$$

Jaa -13 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{2}. Lisää sitten -\frac{13}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$m^{2}-13m+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-72+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$m^{2}-13m+\frac{169}{4}=-72+\frac{169}{4}$$

Lisää -72 lukuun \frac{169}{4}.

$$m^{2}-13m+\frac{169}{4}=-\frac{119}{4}$$

Jaa m^{2}-13m+\frac{169}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{119}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(m-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{4}}$$

Sievennä.

$$m-\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{119}i}{2} m-\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{119}i}{2}$$

Lisää \frac{13}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$m=\frac{13+\sqrt{119}i}{2} m=\frac{-\sqrt{119}i+13}{2}$$