Ratkaise c^2-8c+19=0

$${ c }^{ 2 } -8c+19=0$$

Ratkaise muuttujan c suhteen

$$c=4+\sqrt{3}i\approx 4+1,732050808i$$

$$c=-\sqrt{3}i+4\approx 4-1,732050808i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$c^{2}-8c+19=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -8 ja c luvulla 19 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 19}}{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 19}}{2}$$

Kerro -4 ja 19.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-76}}{2}$$

Lisää 64 lukuun -76.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-12}}{2}$$

Ota luvun -12 neliöjuuri.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{3}i}{2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2i\sqrt{3}.

$$c=\frac{8+2\sqrt{3}i}{2}$$

Jaa 8+2i\sqrt{3} luvulla 2.

$$c=4+\sqrt{3}i$$

Ratkaise nyt yhtälö c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{3} luvusta 8.

$$c=\frac{-2\sqrt{3}i+8}{2}$$

Jaa 8-2i\sqrt{3} luvulla 2.

$$c=-\sqrt{3}i+4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$c^{2}-8c+19=0$$

Vähennä 19 yhtälön molemmilta puolilta.

$$c^{2}-8c+19-19=-19$$

Kun luku 19 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$c^{2}-8c=-19$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$c^{2}-8c+\left(-4\right)^{2}=-19+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$c^{2}-8c+16=-19+16$$

Lisää -19 lukuun 16.

$$c^{2}-8c+16=-3$$

Jaa c^{2}-8c+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(c-4\right)^{2}=-3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(c-4\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Sievennä.

$$c-4=\sqrt{3}i c-4=-\sqrt{3}i$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$