Ratkaise b^2+b-1/4=0

$${ b }^{ 2 } +b- \frac{ 1 }{ 4 } = 0$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$b=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$b^{2}+b-\frac{1}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla -\frac{1}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-\frac{1}{4}\right)}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$b=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-\frac{1}{4}\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{4}.

$$b=\frac{-1±\sqrt{1+1}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 1.

$$b=\frac{-1±\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-1±\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{2}.

$$b=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-1±\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{2} luvusta -1.

$$b=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$b=\frac{\sqrt{2}-1}{2} b=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$b^{2}+b-\frac{1}{4}=0$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$b^{2}+b-\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=-\left(-\frac{1}{4}\right)$$

Kun luku -\frac{1}{4} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$b^{2}+b=-\left(-\frac{1}{4}\right)$$

Vähennä -\frac{1}{4} luvusta 0.

$$b^{2}+b=\frac{1}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$b^{2}+b+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$b^{2}+b+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$b^{2}+b+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Jaa b^{2}+b+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$b+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} b+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$b=\frac{\sqrt{2}-1}{2} b=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$