Ratkaise 4^3+x^2+2x-3=0

$${ 4 }^{ 3 } + { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-1+2\sqrt{15}i\approx -1+7,745966692i$$

$$x=-2\sqrt{15}i-1\approx -1-7,745966692i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+61=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla 61 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 61}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 61}}{2}$$

Kerro -4 ja 61.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-244}}{2}$$

Lisää 4 lukuun -244.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-240}}{2}$$

Ota luvun -240 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{15}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±4\sqrt{15}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 4i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-2+4\sqrt{15}i}{2}$$

Jaa -2+4i\sqrt{15} luvulla 2.

$$x=-1+2\sqrt{15}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±4\sqrt{15}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{15} luvusta -2.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}i-2}{2}$$

Jaa -2-4i\sqrt{15} luvulla 2.

$$x=-2\sqrt{15}i-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1+2\sqrt{15}i x=-2\sqrt{15}i-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+61=0$$

Vähennä 61 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+61-61=-61$$

Kun luku 61 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=-61$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-61+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-61+1$$

Lisää -61 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=-60$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-60$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-60}$$

Sievennä.

$$x+1=2\sqrt{15}i x+1=-2\sqrt{15}i$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1+2\sqrt{15}i x=-2\sqrt{15}i-1$$