Ratkaise 4^2-4x(5-x)=0

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Laske lukujen -4x ja 5-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-4 b=-1$$

Kirjoita \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right) uudelleen muodossa x^{2}-5x+4.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Jaa yleinen termi x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-4=0 ja x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Laske lukujen -4x ja 5-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -20 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Korota -20 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Lisää 400 lukuun -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

Luvun -20 vastaluku on 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±12}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 20 lukuun 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Jaa 32 luvulla 8.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±12}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Laske lukujen -4x ja 5-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -20 luvulla 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -16 luvulla 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Lisää -4 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4 x=1$$