Ratkaise left(x-2right)^3-x^3=x^2-4

$${ \left(x-2 \right) }^{ 3 } - { x }^{ 3 } = { x }^{ 2 } -4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 6}{7} \approx 1,261203875$$

$$x=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}\approx 0,453081839$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} yhtälön \left(x-2\right)^{3} laajentamiseen.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-x^{3}=x^{2}-4$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{3} ja -x^{3}.

$$-6x^{2}+12x-8=x^{2}-4$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}+12x-8-x^{2}=-4$$

Selvitä -7x^{2} yhdistämällä -6x^{2} ja -x^{2}.

$$-7x^{2}+12x-8=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$-7x^{2}+12x-8+4=0$$

Selvitä -4 laskemalla yhteen -8 ja 4.

$$-7x^{2}+12x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -7, b luvulla 12 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro -4 ja -7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 28 ja -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-112}}{2\left(-7\right)}$$

Lisää 144 lukuun -112.

$$x=\frac{-12±\sqrt{32}}{2\left(-7\right)}$$

Ota luvun 32 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 2 ja -7.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{-14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{-14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-12}{-14}$$

Jaa -12+4\sqrt{2} luvulla -14.

$$x=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{-14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{2} luvusta -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-12}{-14}$$

Jaa -12-4\sqrt{2} luvulla -14.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+6}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{6-2\sqrt{2}}{7} x=\frac{2\sqrt{2}+6}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} yhtälön \left(x-2\right)^{3} laajentamiseen.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-x^{3}=x^{2}-4$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{3} ja -x^{3}.

$$-6x^{2}+12x-8=x^{2}-4$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}+12x-8-x^{2}=-4$$

Selvitä -7x^{2} yhdistämällä -6x^{2} ja -x^{2}.

$$-7x^{2}+12x-8=-4$$

Lisää 8 molemmille puolille.

$$-7x^{2}+12x=-4+8$$

Selvitä 4 laskemalla yhteen -4 ja 8.

$$-7x^{2}+12x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -7.

$$\frac{-7x^{2}+12x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

Jakaminen luvulla -7 kumoaa kertomisen luvulla -7.

$$x^{2}+\frac{12}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

Jaa 12 luvulla -7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=\frac{4}{-7}$$

Jaa 4 luvulla -7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Jaa -\frac{12}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{6}{7}. Lisää sitten -\frac{6}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{6}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{4}{7}+\frac{36}{49}$$

Lisää -\frac{4}{7} lukuun \frac{36}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{8}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{8}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{2}}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{2}}{7}$$

Lisää \frac{6}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+6}{7} x=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}$$