Ratkaise left(x+3right)^2=16(x-13)

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } =16(x-13)$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=5+8\sqrt{3}i\approx 5+13,856406461i$$

$$x=-8\sqrt{3}i+5\approx 5-13,856406461i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+6x+9=16\left(x-13\right)$$

Laske lukujen 16 ja x-13 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}+6x+9=16x-208$$

Vähennä 16x molemmilta puolilta.

$$x^{2}+6x+9-16x=-208$$

Selvitä -10x yhdistämällä 6x ja -16x.

$$x^{2}-10x+9=-208$$

Lisää 208 molemmille puolille.

$$x^{2}-10x+9+208=0$$

Selvitä 217 laskemalla yhteen 9 ja 208.

$$x^{2}-10x+217=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -10 ja c luvulla 217 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 217}}{2}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 217}}{2}$$

Kerro -4 ja 217.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-868}}{2}$$

Lisää 100 lukuun -868.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-768}}{2}$$

Ota luvun -768 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±16\sqrt{3}i}{2}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±16\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±16\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 16i\sqrt{3}.

$$x=\frac{10+16\sqrt{3}i}{2}$$

Jaa 10+16i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=5+8\sqrt{3}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±16\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16i\sqrt{3} luvusta 10.

$$x=\frac{-16\sqrt{3}i+10}{2}$$

Jaa 10-16i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=-8\sqrt{3}i+5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5+8\sqrt{3}i x=-8\sqrt{3}i+5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+6x+9=16\left(x-13\right)$$

Laske lukujen 16 ja x-13 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}+6x+9=16x-208$$

Vähennä 16x molemmilta puolilta.

$$x^{2}+6x+9-16x=-208$$

Selvitä -10x yhdistämällä 6x ja -16x.

$$x^{2}-10x+9=-208$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-10x=-208-9$$

Vähennä 9 luvusta -208 saadaksesi tuloksen -217.

$$x^{2}-10x=-217$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-217+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x^{2}-10x+25=-217+25$$

Lisää -217 lukuun 25.

$$x^{2}-10x+25=-192$$

Jaa x^{2}-10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-192$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-192}$$

Sievennä.

$$x-5=8\sqrt{3}i x-5=-8\sqrt{3}i$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5+8\sqrt{3}i x=-8\sqrt{3}i+5$$