Ratkaise left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+14\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+11\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+22x+121 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{2} ja -x^{2}.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Selvitä 6x yhdistämällä 28x ja -22x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Vähennä 121 luvusta 196 saadaksesi tuloksen 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-6\right)^{2} laajentamiseen.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Lisää 12x molemmille puolille.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Selvitä 18x yhdistämällä 6x ja 12x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Vähennä 36 molemmilta puolilta.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Vähennä 36 luvusta 75 saadaksesi tuloksen 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 18 ja c luvulla 39 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 324 lukuun 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 480 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Jaa -18+4\sqrt{30} luvulla -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{30} luvusta -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Jaa -18-4\sqrt{30} luvulla -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+14\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+11\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+22x+121 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{2} ja -x^{2}.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Selvitä 6x yhdistämällä 28x ja -22x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Vähennä 121 luvusta 196 saadaksesi tuloksen 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-6\right)^{2} laajentamiseen.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Lisää 12x molemmille puolille.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Selvitä 18x yhdistämällä 6x ja 12x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Vähennä 75 molemmilta puolilta.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Vähennä 75 luvusta 36 saadaksesi tuloksen -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Jaa 18 luvulla -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Jaa -39 luvulla -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Jaa -18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -9. Lisää sitten -9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Lisää 39 lukuun 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Jaa x^{2}-18x+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Sievennä.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$