Ratkaise left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Selvitä 6x yhdistämällä 2x ja 4x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Selvitä 5x yhdistämällä 6x ja -x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Vähennä 12 luvusta 5 saadaksesi tuloksen -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-7. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -14.

$$-1,14 -2,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 5.

$$a=-2 b=7$$

Kirjoita \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+5x-7.

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 7 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-1=0 ja 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Selvitä 6x yhdistämällä 2x ja 4x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Selvitä 5x yhdistämällä 6x ja -x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Vähennä 12 luvusta 5 saadaksesi tuloksen -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 5 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Lisää 25 lukuun 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±9}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±9}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Selvitä 6x yhdistämällä 2x ja 4x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Selvitä 5x yhdistämällä 6x ja -x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Vähennä 5 luvusta 12 saadaksesi tuloksen 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Jaa \frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{4}. Lisää sitten \frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Lisää \frac{7}{2} lukuun \frac{25}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Vähennä \frac{5}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$