Ratkaise left(4xright)^2+4x+4=0

$${ \left(4x \right) }^{ 2 } +4x+4=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}\approx -0,125+0,484122918i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}\approx -0,125-0,484122918i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lavenna \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}+4x+4=0$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16x^{2}+4x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 16, b luvulla 4 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Kerro -4 ja 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-64\times 4}}{2\times 16}$$

Kerro -64 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-256}}{2\times 16}$$

Lisää 16 lukuun -256.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-240}}{2\times 16}$$

Ota luvun -240 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{15}i}{2\times 16}$$

Kerro 2 ja 16.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{15}i}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{15}i}{32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4+4\sqrt{15}i}{32}$$

Jaa -4+4i\sqrt{15} luvulla 32.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{15}i}{32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{15} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}i-4}{32}$$

Jaa -4-4i\sqrt{15} luvulla 32.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lavenna \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}+4x+4=0$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16x^{2}+4x+4=0$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$16x^{2}+4x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{16x^{2}+4x}{16}=-\frac{4}{16}$$

Jakaminen luvulla 16 kumoaa kertomisen luvulla 16.

$$x^{2}+\frac{4}{16}x=-\frac{4}{16}$$

Supista murtoluku \frac{4}{16} luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{4}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{16} luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa \frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{8}. Lisää sitten \frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{15}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{8}$$

Vähennä \frac{1}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$