Ratkaise left(3x+1right)^2=-2x

$${ \left(3x+1 \right) }^{ 2 } =-2x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,150472077$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,738416812$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Selvitä 8x yhdistämällä 6x ja 2x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 8 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-36}}{2\times 9}$$

Lisää 64 lukuun -36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{28}}{2\times 9}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-8}{18}$$

Jaa -8+2\sqrt{7} luvulla 18.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-8}{18}$$

Jaa -8-2\sqrt{7} luvulla 18.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Selvitä 8x yhdistämällä 6x ja 2x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$9x^{2}+8x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+8x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Jaa \frac{8}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{9}. Lisää sitten \frac{4}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{16}{81}$$

Lisää -\frac{1}{9} lukuun \frac{16}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{7}{81}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x+\frac{4}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Vähennä \frac{4}{9} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$