Ratkaise left(3xright)^2-4x+1=0

$${ \left(3x \right) }^{ 2 } -4x+1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9}\approx 0,222222222+0,248451997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}\approx 0,222222222-0,248451997i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-4x+1=0$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$9x^{2}-4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36}}{2\times 9}$$

Lisää 16 lukuun -36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-20}}{2\times 9}$$

Ota luvun -20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{18}$$

Jaa 4+2i\sqrt{5} luvulla 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{5} luvusta 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{18}$$

Jaa 4-2i\sqrt{5} luvulla 18.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-4x+1=0$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$9x^{2}-4x+1=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$9x^{2}-4x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Jaa -\frac{4}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{9}. Lisää sitten -\frac{2}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{4}{81}$$

Lisää -\frac{1}{9} lukuun \frac{4}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=-\frac{5}{81}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=-\frac{5}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{81}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{5}i}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{5}i}{9}$$

Lisää \frac{2}{9} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$