Ratkaise left(12-xright)^2+144=9x^2

$${ \left(12-x \right) }^{ 2 } +144=9 { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{17} - 3}{2} \approx 4,684658438$$

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}\approx -7,684658438$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(12-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

Selvitä 288 laskemalla yhteen 144 ja 144.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -9x^{2}.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-8x^{2}-24x+288=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -8, b luvulla -24 ja c luvulla 288 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Korota -24 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro -4 ja -8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+32\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 32 ja 288.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+9216}}{2\left(-8\right)}$$

Lisää 576 lukuun 9216.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{9792}}{2\left(-8\right)}$$

Ota luvun 9792 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 2 ja -8.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 24\sqrt{17}.

$$x=\frac{24\sqrt{17}+24}{-16}$$

Jaa 24+24\sqrt{17} luvulla -16.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24\sqrt{17} luvusta 24.

$$x=\frac{24-24\sqrt{17}}{-16}$$

Jaa 24-24\sqrt{17} luvulla -16.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(12-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

Selvitä 288 laskemalla yhteen 144 ja 144.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -9x^{2}.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Vähennä 288 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-24x-8x^{2}=-288$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}-24x=-288$$

Jaa molemmat puolet luvulla -8.

$$\frac{-8x^{2}-24x}{-8}=-\frac{288}{-8}$$

Jakaminen luvulla -8 kumoaa kertomisen luvulla -8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-8}\right)x=-\frac{288}{-8}$$

Jaa -24 luvulla -8.

$$x^{2}+3x=-\frac{288}{-8}$$

Jaa -288 luvulla -8.

$$x^{2}+3x=36$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=36+\frac{9}{4}$$

Lisää 36 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$