Ratkaise {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 0 ja 5, niin saadaan 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Laske 0 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(5-15x\right)^{2} laajentamiseen.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Selvitä 25 laskemalla yhteen 0 ja 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Vähennä 1 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Selvitä -152x yhdistämällä -150x ja -2x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Selvitä 224x^{2} yhdistämällä 225x^{2} ja -x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 224, b luvulla -152 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Korota -152 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Kerro -4 ja 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Kerro -896 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Lisää 23104 lukuun -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Ota luvun 1600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Luvun -152 vastaluku on 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Kerro 2 ja 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{152±40}{448}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 152 lukuun 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Supista murtoluku \frac{192}{448} luvulla 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{152±40}{448}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40 luvusta 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Supista murtoluku \frac{112}{448} luvulla 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 0 ja 5, niin saadaan 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Laske 0 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(5-15x\right)^{2} laajentamiseen.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Selvitä 25 laskemalla yhteen 0 ja 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Selvitä -152x yhdistämällä -150x ja -2x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Selvitä 224x^{2} yhdistämällä 225x^{2} ja -x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Vähennä 25 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Jakaminen luvulla 224 kumoaa kertomisen luvulla 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Supista murtoluku \frac{-152}{224} luvulla 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Supista murtoluku \frac{-24}{224} luvulla 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Jaa -\frac{19}{28} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{56}. Lisää sitten -\frac{19}{56}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{56} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Lisää -\frac{3}{28} lukuun \frac{361}{3136} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Jaa x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Lisää \frac{19}{56} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$